第十四章 定量分析：描述性统计

研究项目中搜集的数字数据可以运用两种不同的统计工具进行定量分析。描述性分析是指统计性地描述总体及展示兴趣的构念或构念间的联系。推断性分析是指假设的统计检验（理论检验）。在这章中，我们将检验用于描述性分析的统计技术，在下章中将检验用于推断分析的统计技术。当前大多数定量数据分析是用软件程序处理的，比如 SPSS或 SAS。为了理解本章中描述的概念，建议读者熟悉一种这样的程序。

数据准备

在研究项目中，数据可能从各种各样的来源被收集：邮件调查、访谈、事前测试或者事后测试的实验数据，观察数据等等。这个数据必须被转成机器可读的、数字格式，比如电子表格或文本文件，以使它们可以被电脑程序分析，如SPSS 或SAS。数据准备通常需要遵循以下的步骤。

数据编码。编码是将数据转化成数字格式的过程。需要创建一个编码簿来指导编码过程。编码簿是一个综合的文件，其包含研究中每个变量的详细描述、那些变量的条目或计量、每个条目的格式（数字、文本等等）、每个条目的反应尺度（例如，它是按名义变量、顺序量表、等距量表还是等比变量来计量；这样的量表是五点式、七点式还是一些其他类型的），以及怎样将每个值编码成数字表格。例如，如果我们有一个用七点式李克特量表计量条目，锚点从“强烈不同意”到“强烈同意”变化，那么我们可以这样编码这些条目， 1 表示“强烈不同意”，4 表示“中性”，7 表示“强烈同意”，中间的锚点介于其间。名义变量如行业类型，可以按照这样一套编码计划的数以字形式编码：1表示制造业，2表示零售业，3表示金融业，4表示医疗业，以此类推（当然，定类数据不能被统计分析）。定比数据，如年龄、收入，或测试得分可以按照应答者进入那样编码。有时，数据可能需要被加总成不同于数据搜集格式一样的格式。比方说，为了计量如“电脑的好处”这样的构念，如果一项调查向调查对象提供一个好处的清单，他们从中进行选择（即，他们可以选择他们想要的尽可能多的好处），那么受查条目的总数可以被用作好处的一个总体计量。注意许多其他形式的数据，如访谈手稿不能被转换为用于统计分析的数字格式。编码对于大量复杂研究尤为重要。这些研究中包括许多变量和计量条目，编码过程被不同的人实施，为了帮助编码团队按照一致的方式编码，而且为了帮助其他人解释编码数据。

数据输入。编码数据可以被录入电子表格、数据库、文本文件或直接进入统计程序如SPSS。大多数统计程序提供录入数据的数据编辑器。然而，这些程序以它们自己的原本格式存储数据（比如，SPSS 以.sav 文件存储数据），这将使得在其他统计程序中共享数据变得困难。因此，一般来说将数据录入电子表格或数据库中比较好，这样数据可以根据需要被重整，在程序中共享，而且数据的子集可以为分析而被提取。更小的数据集，一般少于 65000个观测值和256个条目，可以存储在如Microsoft Excel的电子表格中。然而拥有几百万观测值的较大数据集就需要一个数据库。每个观测值被录入进电子表格中的每行，每个计量条目列在每列中。输入的数据需要在输入过程中或结束后被经常检查其准确性，可以通过对一组条目和观测值的不定期抽查。而且，当录入数据时，编码者应该注意明显较差的数据，如调查对象选择“强烈同意”回答与内容无关的所有条目，包括反向编码的条目。如果这样，这些数据可以被录入但应该从随后的分析中被剔除。

缺失值。缺失数据是任何实证数据集不可避免的一部分。如果它们用词模糊或太敏感的话，调查对象可能不回答特定的问题。此类问题应该在事前测试中尽早地被发现，而且在主数据收集过程开始前被改正。在数据录入时，一些统计程序自动地将空白记录视为缺失值，而其他程序则要求录入具体的数字值如-1 或 999 来代表缺失值。在数据分析中，大多数软件程序中处理缺失值的默认模型是仅仅删掉整个观测值，包括即使一个单一的缺失值，该技术叫成列删除法。此类删除会显著减少样本规模，使得发现细微影响极其困难。因此，一些软件程序允许选择将缺失值替代成估计值，通过一个叫插补法的程序。例如，如果缺失值是一个多要素尺度的条目，缺失值可能是调查对象对剩余条目在那个尺度上反应的平均值。如果缺失值属于单要素尺度，许多研究者用其他调查对象对那个要素反应的均值作为插补值。如果缺失值是系统而不是随机的，此类插补可能会有偏误。两种可以产生相对无偏估计的插补方法是最大似然程序和多重插补方法，它们都被流行的软件程序如SPSS和 SAS所支持。

数据转换。有时有必要在数据可以被有意义地解释前转换数据值。例如，反向编码要素表达了与它们潜在的构念相反的意思，应该在它们与没有反向编码的要素比较或结合前被反转

（例如，在 1-7 的间隔尺度中，8减去观测值将反转原值）。其他类型的转换可能包括通过增加单个尺度要素创造尺度计量，从一组观测的测度中创造加权指数，以及将多个值拆叠为更少的分类（例如，将收入值拆叠为收入的变化）。

一元分析

一元分析，或单变量分析，是指可以描述一个变量总体属性的一套统计方法。单变量统计包括：（1）频数分布，（2）集中趋势，和（3）离差。一个变量的频数分布是那个变量的单个值或是范围值的频数（或百分比）。例如，我们可以度量一个样本的调查对象参加了多少次宗教服务（表示他们的“宗教性”的一个变量），通过用一个分类尺度：从来不，每年一次，每年几次，大约每月一次，每月几次，一周几次，和一个对于“不回答”的选择性分类。如果我们计数每个分类（除了“不回答”，实际表示一个缺失值而不是一个分类）下的观测值数量（或百分比），并以表格的形式列示，如图 14.1。这就是频数分布。这个分布也可以以直方图的形式描绘出，即图 14.1 右侧，横轴表示那个变量的每个分类，纵轴表示每类中观测值的频数或百分比。

图 14.1. 宗教狂热的频数分布

由于许多大样本的观测值是独立和随机的，频数分布倾向于逼近一个图，看起来像钟形曲线（频数分布的一个光滑的直方图），类似于图 14.2 所示，大多数观测值向中心聚集，越来越少的观测值趋向极端。这样的曲线叫正态分布。

集中趋势是分布的中心值的估计。有三种集中趋势的主要估计：均值、中位数和众数。算术平均值（经常仅被叫做“均值”）是一个给定分布的所有值的简单平均。考虑一组 8 测试得分：15, 22, 21, 18, 36, 15, 25, 15.这些值的算术平均数是(15 + 20 + 21 + 20 + 36 + 15 + 25 + 15)/8= 20.875.其他类型的均值包括几何平均数（一个n个数值分布的 n次方根）和协和平均数（一个分布中每个值的倒数的算术平均数的倒数），但是这些均值在社会研究数据的统计分析中不是很流行。

第二种计量集中趋势的方法——中位数，是一个分布的值域的中间值。这通过用增序排列所有的值并挑出中间值计算得到。在有两个中间值的情况下（如果分布有偶数个值），这个两个中间值的平均数代表中位数。在上述例子中，排序后的值是：15, 15, 15, 18, 22, 21, 25, 36.这两个中间值是18和 22，因此中位数是(18 + 22)/2 = 20.

最后，众数是值的分布中出现最频繁的值。在前述例子中，最频繁出现的值是 15，这就是上述测试得分的众数。注意从样本中估计出的任何值，比如均值、中位数、众数，或者任何后来的估计都叫统计。

离差是指值分布于集中趋势周围的方式，例如，值是怎样紧密或怎样广泛聚集在均值周围的。两种普遍的离差的测度是极差和标准差。极差是最高值和最低值之间的差异。我们前述例子中极差是 36-15 = 21.

极差对极端值的出现特别敏感。例如，如果上述分布的最高值是 85，其他值保持不变，极差就是 85-15 = 70。标准差，第二种离差的测度，通过使用一个公式修正了这种极端值。这个公式考虑了每个变量与分布的均值的距离：

σ是标准差，x 是第 i个观测（或值），µ是算术平均数，n是观测值的数量，Σ表示所有

i观测值的总和。标准差的平方叫做分布的方差。在正态的频数分布中，68%的观测值位于均值的一倍标准差之间(µ + 1 σ)，95%的观测值在两倍标准差之间(µ + 2 σ)，99.7%的观测值位于三倍标准差内(µ + 3 σ)，如图14.2所示。

图 14.2 正态分布

双变量分析

双变量分析检验两个变量是如何相互关联的。最普通的双变量统计是双变量相关系数（经常被简称为“相关系数”），一个介于-1与 1之间的值，表示了两个变量之间的相关强度。假设我们希望研究年龄如何跟自尊相关，以 20 个调查对象为样本，比如随着年龄的增长，自尊是会增加，减少，还是不变。如果自尊增加，那么我们得到这两个变量间的正相关关系；如果自尊减少，我们得到负相关关系；如果保持不变，我们得到零相关关系。为了计算相关系数的值，考虑表 14.1的假设数据集。

表 14.1 年龄和自尊的假设数据

这个数据集中的两个变量是年龄（x）和自尊（y）。年龄是一个定比变量，而自尊是从多要素自尊量表计算的平均得分而来的，运用七点式李克特量表，从“强烈不同意”到“强烈同意”变动。每个变量的直方图显示在图14.3左列。计算双变量相关系数的方程是：

r 是相关系数，x和 y是变量 x和 y的样本均值， s 和 s 是变量 x和 y的标准差。如表

xy x y 14.1 所示，手工计算年龄和自尊之间的相关系数是 0.79。这个数字表明了年龄和自尊之间强烈正相关。即自尊倾向于随着年龄的增长而增强，随着年龄的减小而减弱。这样的模式也可以从比较图 14.3 中的年龄和自尊的直方图看得出，两个直方图的顶点大致相互紧随。图 14.3的纵轴表示真实的观测值而不是观测值的频数（如图 14.1 所示）。因此，这不是频数分布而是直方图。图 14.3 的右侧是双变量的散点图，纵轴表示自尊，横轴表示年龄。这个图粗略地聚集成了一个上倾的斜线（即正斜率）。如果两个变量是负相关，散点图应该是向下倾斜的

（负斜率），表明年龄的增长与自尊的减弱相关，反之亦然。如果两个变量不相关，散点图将接近于一条水平线（零斜率），表明年龄的增长与自尊非系统相关。

图 14.3 年龄和自尊的直方图和相关系数图

在计算了双变量相关性后，研究者通常比较有兴趣知道相关性是否显著（即一个真正的）或是仅仅偶然引起的。回答这样一个问题需要检验如下假设：

H : r = 0

H : r ≠ 0

H 被称为原假设，H 被称为备择假设（有时也表示为 H ）或我们真正想要检验的假设

0 1 a

（即相关系数是否异于 0）。尽管他们可能看起来像两个假设，H 和 H 联合代表了一个单一

0 1的假设，因为他们彼此相反。也要注意到 H 是非方向性的假设，因为它没有具体说 r 是大于

1还是小于 0。方向性假设具体为：H : r ≤ 0; H : r > 0（如果我们检验正相关）。方向性假设的

0 1显著性检验用单尾t检验做，而非方向性检验用双尾t检验做。

在统计检验中，备择假设不能被直接或者推定证明。然而，它可以通过在特定概率水平下显著拒绝原假设而被间接证明。统计检验经常是概率性的，因为我们从来不确定基于样本数据的推断是否适用于总体，因为我们的样本从来不等于总体。纯属巧合的统计推断的概率被称为 p值。p值是跟显著性水平（α）相对的。α表示我们愿意接受推断是不正确的最大风险水平。对于大多数统计分析，α被设定为 0.05。p值小于 α=0.05表明我们有足够的统计证据拒绝原假设，因此，间接接受了备择假设。如果 p>0.05，那么我们没有充足的证据拒绝原假设或接受备择假设。

检验上述假设最简单的方法是在统计表格中查阅 r的临界值。统计表格在任何标准的统计教科书或互联网上（大多数软件程序也执行显著性测试）都可以得到。r 的临界值依赖于我们所要求的显著性水平（α = 0.05），自由度（df）以及要求的检验是单尾检验还是双尾检验。自由度是指在统计的任何计算中可以自由变动的值的数量。在相关系数中，自由度等于 n –2。如在表14.1中，自由度是20 – 2 = 18。对于单尾检验和双尾检验有两种不同的统计表格。在双尾检验中，对于α = 0.05、df = 18，r的临界值是 0.44。要是我们计算的 0.79的相关性显著，r 必须大于临界值 0.44 或小于-0.44。由于我们计算的 0.79 大于 0.44，可以推论出在我们的数据集中，年龄和自尊有显著的相关性。也就是说相关性是偶然性的概率小于 5%。因此，我们可以拒绝 r ≤ 0的原假设，间接表明了r > 0的备择假设是可能正确的。

大多数研究涉及多于两个变量。如果有 n 个变量，那么在这 n 个变量中，我们将共有n*(n-1)/2个相关系数。此类相关系数通过如 SPSS样的软件程序可以轻易地计算出，而不是相关系数公式（如表 14.1）手工计算，并且以相关系数矩阵的形式列示，如表 14.2 所示。一个相关系数矩阵是这样一个矩阵：在第一行和第一列列示变量名称，并在矩阵合适的单元格中描述一组变量间的双变量相系数。这个矩阵的主对角线（从左上角到右下角）的值一般为 1，因为任何变量都跟它自身完全相关。而且，由于相关性是非方向性的，变量 V1 和 V2 间的相关系数与 V2 和 V1间的相关系数是一样的。因此，下三角矩阵（主对角线以下的值）是上三角矩阵（主对角线以上的值）的一面镜子。如此，为了简洁，我们便常常只列示出下三角矩阵。如果相关性包括以等距尺度计量的变量，那么相关系数的具体类型被称为皮尔逊积差相关系数。

表 14.2 八个变量的假设相关系数矩阵

列示双变量数据的另一种有用的方式是交叉表格（常简称为交叉表，有时也被更正式地称为列联表）。交叉表是一个描述两种及两种以上的定类或分类变量的所有组合频数（或百分比）的表格。例如，我们假设有 20 个学生样本的关于性别和分数的观测值，如图 14.3。姓名是一个定类变量（女/男），分数是一个有三个等级（A/B/C）的分类变量。在一个 2x3的矩阵中，数据的简单列联表列示了性别和分数间的联合分布（即每个等级每个性别的学生有多少个，以行频数计数或百分比表示）。这个矩阵将帮助我们看清 A、B、C 三个等级的分数是否均匀分布在男生和女生中。表 14.3 中的交叉表数据表明 A 级分数分布偏向于女生：样本有10 个男生 10 个女生， 5 个女生拿到了 A，而仅一个男生拿到 A。相反，C 级分布偏向于男生：3 个男生拿到 C，而仅一个女生拿到 C。然而，B级的分布是有点统一的，6 个男生和 5个女生拿到 B。表格中的最后一行和最后一列被称为边际总数，因为他们表示每类的总数并列示在表格的边上。

表14.3 交叉表分析的例子

尽管我们可以看到表 14.3 中男生和女生的分数分布有明显不同的模式，这个模式是否是真正的或“统计显著”呢？换句话说，以上的频数计数与纯属巧合的预期是否不同呢？为了回答这个问题，我们应该在 2 x 3的交叉表矩阵的每个单元格中计算观测者的预期数。这个可以通过乘以边际列总数和边际行总数再除以总观测值的数量计算得到。例如，男生/A 级的单元格，预期计数=5 * 10 / 20 = 2.5。换而言之，我们预期有2.5个男生得到A，但是实际上只有一个男生拿到 A。预期值和真实值之间的差异是否显著可以通过卡方检验来检验。卡方统计量是计算所有单元格的观测值和预期值均值的差异。然后我们可以将这个数与临界值相比较，临界值是通过期望概率水平（p < 0.05）和自由度确定。自由度即(m-1)*(n-1)，m 和 n 分别表示行和列的数量。任何教科书中标准卡方表格中，对于 p=0.05 和 df=2，临界的卡方的值为5.99。基于我们的观测数据计算的卡方值是 1.00，小于临界值。由此，我们一定可以推论出观察到的分数模式与纯属巧合的预期不是统计上显著区别的。.